Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=.

（1）試比較a_n與a_n+1的大小.

（2）a_n=(n+1)()ⁿ，試判斷此數(shù)列的增減性和有界性.

（3）在(2)中有無最大項(xiàng)?若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由.

Answer 1

思路分析：（2）因a_n是n的函數(shù)，難點(diǎn)在a_n是一個(gè)一次函數(shù)（n+1）與一個(gè)指數(shù)函數(shù)（）ⁿ的積，所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看，一增一減積不確定，但n∈N^*，不妨試從比較a_n與a_n+1的大小著手.

解：（1）∵a_n=為單調(diào)遞增數(shù)列，

∴a_n+1＞a_n.

事實(shí)上,a_n+1-a_n=＞0.

 

（2）∵a_n+1-a_n=(n+2)()ⁿ⁺¹-(n+1)()ⁿ=()ⁿ·,

 

∴當(dāng)n＜9時(shí)，a_n+1-a_n＞0， 即a_n+1＞a_n；

 

當(dāng)n=9時(shí)，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；

 

當(dāng)n＞9時(shí)，a_n+1-a_n＜0,即a_n+1＜a_n.

 

∴a₁＜a₂＜a₃＜…＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞….

 

∴當(dāng)1≤n≤9，n∈N時(shí)，{a_n}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥10時(shí)，{a_n}單調(diào)遞減，且|a_n|≤|a₉|=|a₁₀|=10·()⁹.

∴{a_n}有界.

（3）由{a_n}的單調(diào)性知數(shù)列{a_n}有最大項(xiàng)a₉或a₁₀，其值為10·（）⁹,其項(xiàng)數(shù)為第9項(xiàng)或第10項(xiàng).