【題目】已知橢圓：的離心率為，點，分別為橢圓的左右頂點，點在上，且面積的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為的左焦點，點在直線上，過作的垂線交橢圓于，兩點.證明：直線平分線段.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（1）由題意可知，，結合，即可求得橢圓方程.

（2）由題意設，，，線段的中點.則，①易知平分線段；②，，因點，在橢圓上，根據(jù)點差法整理得，所以，直線平分線段.

詳解：解：（Ⅰ）由橢圓的性質知當點位于短軸頂點時面積最大.

∴有，解得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設，，，線段的中點.

則，，

由（Ⅰ）可得，則直線的斜率為.

當時，直線的斜率不存在，由橢圓性質易知平分線段，

當時，直線的斜率.

∵點，在橢圓上，，

整理得：，

又，，

∴，直線的斜率為，

∵直線的斜率為，

∴直線平分線段.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數(shù)解析式，并利用題設中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的60名學生，得到數(shù)據(jù)如下表：

喜歡統(tǒng)計課程

不喜歡統(tǒng)計課程

合計

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計

30

30

60

（1）判斷是否有99.5％的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關？

（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選3人，求恰有2個男生和1個女生的概率．

下面的臨界值表供參考：

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線．

（1）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；

（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列關于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：
p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；
p3：數(shù)列 是遞增數(shù)列；
p4：數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列；
其中真命題是（ ）
A.p1 ， p2
B.p3 ， p4
C.p2 ， p3
D.p1 ， p4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，則C的離心率e= ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線的焦點，為其標準線與軸的交點，過的直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，且，則__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某社區(qū)為了解居民喜歡中華傳統(tǒng)文化是否與年齡有關，隨機調查了60位居民，相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示,

喜歡

不喜歡

合計

大于45歲

26

6

32

25歲至45歲

13

15

28

合計

39

21

60

（Ⅰ）是否有99.5%以上的人把握認為喜歡中華傳統(tǒng)文化與年齡有關？

（Ⅱ）按年齡采用分層抽樣的方法從喜歡中華傳統(tǒng)文化的受調查居民中隨機抽取6人作進一步了解，若從這6位居民中任選2人，求這2人的年齡均大于45歲的概率.

附：

0.025

0.010

0.005

0，001

5.024

6.635

7.879

10.828

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