將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)


解析:

當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字母表示，即由條件知

即

進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加….，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由

可得所以

=

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三 角形（圖1，圖2分別給出了n=2，3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）=
 
…，f（n）=
 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(2009湖南卷理)將正ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 　　，…，　

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)=     ，…，f(n)=     

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)推理與證明專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

將正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖乙，圖丙分別給出了n＝2,3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線(xiàn)上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．

 

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