Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且滿足a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=a_n+1，n∈N^*，可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）先求出{b_n}的通項(xiàng)公式，由條件可得（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)分別求出λ的取值范圍，再由λ為非零整數(shù)，可得λ的值．

解答：解：（I）∵a_n+1=a_n+1，n∈N^*，∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*…（2分）
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．  …（4分）
∴a_n=n+1…（5分）
（ II）∵a_n=n+1，
∴bn=4n+(-1)n-1λ•2n+1． …（6分）
∴要使b_n+1＞b_n恒成立，
只要bn+1-bn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．   …（8分）
（�。┊�(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，由于當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值為1，∴λ＜1． …（10分）
（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2…（12分）
綜上知-2＜λ＜1，再由λ為非零整數(shù)，可得λ=-1．
綜上所述，存在λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．        …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．