Question

已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a為常數(shù)．
（I）當x∈[1，+∞）時，f'（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）求的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（I）由f'（x）=ln（1+x）+-a＞0
得a＜ln（1+x）+，
令h（x）=ln（1+x）+，則h'（x）=+．
當x∈[1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴a＜h（1）=+ln2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，+ln2）．
（II）g（x）=ln（1+x）+-a，x∈（-1，+∞）
則g'（x）==
①當a＞1時，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
x∈（a-2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
②當a≤1時，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
所以：當a＞1時，減區(qū)間為（-1，a-2），增區(qū)間為（a-2，+∞）；
當a≤1時，增區(qū)間為（-1，+∞）．
分析：（I）先把f'（x）=ln（1+x）+-a＞0轉化為a＜ln（1+x）+，再利用導函數(shù)研究出不等式右邊的單調性，進而求出其最值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（II）先求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，分情況得到導函數(shù)值為正和為負對應的變量的取值范圍，進而求出其單調區(qū)間．
點評：本題第二問主要研究利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性時，一般結論是：導數(shù)大于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導數(shù)小于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．