已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求證：
a2
a+1
+
b2
b+1
≥1．
證明：因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，所以原不等式等價(jià)于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
 等價(jià)于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
將a+b=2代入，只需要證明 a2+b2+ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
ab
，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．    …（12分）
另證：因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，所以
a2
a+1
+
a+1
4
≥a，
b2
b+1
+
b+1
4
≥b．   …（6分）
兩式相加得 
a2
a+1
+
a+1
4
+
b2
b+1
+
b+1
4
≥a+b，…（8分）
因?yàn)?nbsp; a+b=2，所以
a2
a+1
+
b2
b+1
≥1．   …（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a、b都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過(guò)（0，2）點(diǎn)，則
1
a
+
1
b
的最小值是（　�。�
A、
3
2
+
2
B、3+2
2
C、4
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）若a≥1，用分析法證明
a+1
+
a-1
＜2
a
；
（2）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2，求證：（2a+1）（b+1）≥9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），則
1
a
+
1
b
的最小值是
3+2
2
3+2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•東至縣模擬）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求證：
a2
a+1
+
b2
b+1
≥1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過(guò)C作該圓的切線，交AD的延長(zhǎng)線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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