Question

圓臺(tái)上底面半徑r為5cm，下底面半徑R為10cm，母線AB長(zhǎng)為20cm，從AB中點(diǎn)M拉一根繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B，當(dāng)繩子拉的足夠緊時(shí)繩子最短的長(zhǎng)度是    cm，此時(shí)繩子上各點(diǎn)與上底面圓周的最短距離是    cm．

Answer 1

【答案】分析：由題意需要畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點(diǎn)連線，根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長(zhǎng)，在求出最短的距離．
解答：解：畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，
并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O．
有圖得：所求的最短距離是MB'，
設(shè)OA=R，圓心角是α，則由題意知，
10π=αR  ①，20π=α（20+R）  ②，由①②解得，α=，R=20，
∴OM=30，OB'=40，則MB'=50cm．
故繩子最短的長(zhǎng)度為：50cm．
作OC垂直于B'M交于D，OC是頂點(diǎn)O到MB'的最短距離，則DC是MB'與弧AA'的最短距離，DC=OC-OD=-20=4cm，
即繩子上各點(diǎn)與上底面圓周的最短距離是 4cm．
故答案為：20，4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了在幾何體表面的最短距離的求出，一般方法是把幾何體的側(cè)面展開后，根據(jù)題意作出最短距離即兩點(diǎn)連線，結(jié)合條件求出，考查了轉(zhuǎn)化思想．