Question

如圖，已知E，F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是線(xiàn)段PA上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值；

(3)當(dāng)M的是PA中點(diǎn)時(shí)，求二面角M－EF－N的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：法1：(1)連結(jié)， 　　∵平面，平面， 　　∴，1分 　　又∵，， 　　∴平面，2分 　　又∵，分別是、的中點(diǎn)， 　　∴，3分 　　∴平面，又平面， 　　∴平面平面；4分 　　(2)連結(jié)， 　　∵平面，平面平面， 　　∴， 　　∴，故；8分 　　(3)∵平面，平面，∴， 　　在等腰三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴， 　　∴為所求二面角的平面角，9分 　　∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴， 　　所以在矩形中， 　　可求得，，，10分 　　在中，由余弦定理可求得， 　　∴二面角的余弦值為．12分 　　法2：(1)同法1； 　　(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，， 　　∴＝(4，4，－4)，＝(－2，2，0)， 　　設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平面的法向量為＝(x，y，z)，則＝(4，2，－m)， 　　所以 　　即，令，則，， 　　故＝， 　　∵平面，∴·＝0，即，解得， 　　故，即點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)； 　　故；8分 　　(3)，則，設(shè)平面的法向量為， 　　則，即，9分 　　令，則，， 　　即，10分 　　當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，， 　　則， 　　∴， 　　∴二面角的余弦值為．12分