Question

某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上（含85分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．
（1）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？
（3）若該校決定在第4，5 組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官A的面試，第5組中有ξ名學(xué)生被考官A面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）先求出其它組的頻率，由此能求出第四組的頻率，并能作出頻率分布圖．
（2）依題意優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，由此能求出從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀的概率．
（3）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數(shù)為8人，第五組的人數(shù)為4人，ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四組的頻率為0.2，
頻率分布圖如圖：…（3分）
（2）依題意優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，
所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，
記從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀為事件A，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C22

C52

=

9

10

．…（6分）
（3）由頻率分布直方圖可知，第四組的人數(shù)為8人，第五組的人數(shù)為4人，
ξ的所有可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=

C 2 8

C 2 12

=

14

33

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 1 4

C 2 12

=

16

33

，
P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 12

=

1

11

…（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	14 33	16 33	1 11	…（10分）

∴E(ξ)=0×

14

33

+1×

16

33

+2×

1

11

=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率的求法和頻率分布直方圖的作法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的知識(shí)的合理運(yùn)用．