Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*）
（1）求出所有使數(shù)列{a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列的λ值，并說明理由．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
{a_n+1+λa_n}的前三項(xiàng)分別為5+5λ，35+5λ，65+35λ
依題意得（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n+2a_n-1}是首項(xiàng)為15公比為3的等比數(shù)列，
{a_n-3a_n-1}是首項(xiàng)為-10，公比為-2的等比數(shù)列．
（2）由（1）{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，
{a_n+2a_n-1}是首項(xiàng)為15公比為3的等比數(shù)列，
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
{a_n-3a_n-1}是首項(xiàng)為-10，公比為-2的等比數(shù)列．
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
以上①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
分析：（1）數(shù)列{a_n+1+λa_n}成等比數(shù)列，求出前3項(xiàng)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，直接求出λ的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，得到方程組，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，利用數(shù)列的前3項(xiàng)是等比數(shù)列建立方程是解題的關(guān)鍵．本題第二小題借用（1）結(jié)論用解方程組的方法求出數(shù)列通項(xiàng)，設(shè)計(jì)巧妙，值得借鑒