Question

已知函數(shù)f（x），x∈R滿足f（2）=3，且f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f^/（x）-1＜0，則不等式f（x²）＜x²+1的解集為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f^/（x）-1＜0即f′（x）＜1，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x²＜2時(shí)，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；當(dāng)0＜f′（x）＜1時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x²＞2時(shí)，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，求出解集即可．

解答：解：根據(jù)f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)滿足f^/（x）-1＜0即f′（x）＜1，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：
①當(dāng)f′（x）＜0時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即當(dāng)x²＜2時(shí)，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；
②當(dāng)0＜f′（x）＜1時(shí)得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
即當(dāng)x²＞2時(shí)，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，所以x＞

2

或x＜-

2

綜上，不等式f（x²）＜x²+1的解集為{x|x＞

2

或x＜-

2

}
故答案為{x|x＞

2

或x＜-

2

}

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性解決實(shí)際問題的能力．