Question

如圖，線段DE把邊長為2

2

的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，點D在AB上，E在AC上，則線段DE長度的最小值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AD=x，DE=y，由面積公式及已知條件DE把邊長為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，可用x表示AE，在△ADE中，由余弦定理得到用x表示y，根據(jù)上述表達式，使用基本不等式即可求得DE的最小值．

解答：解：設(shè)AD=x，DE=y，
∵△ABC是邊長為2

2

的等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×（2

2

）²×sin60°，
又S_△ADE=

1

2

x•AE•sin60°，且S△ADE=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×

1

2

×（2

2

）²×sin60°=

1

2

x•AE•sin60°，
解得AE=

4

x

，
在△ADE中，由余弦定理可得，y²=x²+（

4

x

）²-2•

4

x

•x•cos60°=x²+

16

x2

-4，
∴y=

x2+ 16 x2 -4

，（

2

≤x≤2

2

），
由基本不等式可得，x²+

16

x2

-4≥2

x2• 16 x2

-4=4，
當且僅當x²⁼

16

x2

，即x=2時取“=”，
∴當x=2時，y取得最小值為2，
故線段DE長度的最小值為2．
故答案為：2．

點評：本題考查了三角形的面積、余弦定理及基本不等式，充分理解以上知識是解決此問題的關(guān)鍵．屬于中檔題．