Question

若展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（1）展開式中所有x的有理項(xiàng)；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：由題意需先求出展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)利用它們成等差數(shù)列求出n，
（1）由公式，故可知r=0，4，8時(shí)，所得的項(xiàng)為有理項(xiàng)，代入求之即可；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)滿足這樣的條件，比其前的項(xiàng)大，也比其后的項(xiàng)大，由此關(guān)系可得限制條件．解不等式求出r既得．
解答：解：易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為 ．（2分）
據(jù)題意 （3分）⇒n=8（4分）
（1）設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為T_r+1，由
∴r為4的倍數(shù)，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）

故有理項(xiàng)為：，
，
．（8分）
（2）設(shè)展開式中T_r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：且（10分）
⇒r=2或r=3
故展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為：．（12分）
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)的公式，求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)是考試的一個(gè)熱點(diǎn)，掌握其轉(zhuǎn)化的條件，及轉(zhuǎn)化的思想，在一些求最值的問題中，此做法有推廣的必要．