①③
分析:①根據(jù)f(x-2)=-f(x)對一切x∈R都成立可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x);
②設(shè)x∈[1,3],則x-2∈[-1,1],根據(jù)x∈[-1,1]時,f(x)=x
3,可得f(x-2)=( x-2)
3,從而可得f(x)=-( x-2)
3;
③∵函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x-2)=-f(x),可得f(x-2)=f(-x),從而直線x=-1是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸,由于函數(shù)為奇函數(shù),所以直線x=1也是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸;
④根據(jù)f(x-2)=-f(x),可得f(x-2)+f(x)=0;
⑤由②知f(x)=-( x-2)
3,求出導函數(shù),從而求出切線斜率與切點的坐標,從而可得切線方程.
解答:①,∵f(x-2)=-f(x)對一切x∈R都成立,∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函數(shù)y=f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故①正確;
②,設(shè)x∈[1,3],則x-2∈[-1,1],∵當x∈[-1,1]時,f(x)=x
3,∴f(x-2)=( x-2)
3,∵f(x-2)=-f(x)
∴-f(x)=( x-2)
3,∴f(x)=-( x-2)
3,故②不正確;
③,∵函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x-2)=-f(x),∴f(x-2)=f(-x),∴直線x=-1是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸,由于函數(shù)為奇函數(shù),所以直線x=1也是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸,故③正確;
④,∵f(x-2)=-f(x),∴f(x-2)+f(x)=0,∴點(1,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱中心,故④不正確;
⑤,由②知f(x)=-( x-2)
3,則f′(x)=-3( x-2)
2,∴f′(
)=-3(
-2)
2=-
,又f(
)=
∴函數(shù)y=f(x)在點(
,f(
))處的切線方程為
,即3x+4y-5=0,故⑤不正確.
綜上知,正確的是①③
故答案為:①③
點評:本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)的周期性,對稱性,考查曲線的切線,涉及知識點多,解題需要謹慎.