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 20.（Ⅰ）已知數列{cn}，其中cn=2n+3n,且數列｛cn+1－pcn｝為等比數列，求常數p;

（Ⅱ）設{an}{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn=an+bn,證明數列{cn}不是等比數列.

20.本小題主要考查等比數列的概念和基本性質，推理和運算能力.

解：

（Ⅰ）因為｛cn+1－pcn｝是等比數列，故有（cn+1－pcn）2＝（cn+2－pcn＋1）（cn－pcn－1），

將cn＝2n＋3n代入上式，得

［2n+1+3n+1－p（2n+3n）］2

=［2n+2+3n+2－p（2n+1+3n+1）］·［2n+3n－p（2n－1+3n－1）］，

即�。郏�2－p）2n+（3－p）3n］2

=［（2－p）2n+1+（3－p）3n+1］［（2－p）2n－1+（3－p）3n－1］，

整理得    （2－p）（3－p）·2n·3n＝0，

解得        p=2或p=3.                          

 

（Ⅱ）設｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，

cn＝an＋bn.

為證{cn}不是等比數列只需證c≠c1·c3.

事實上，    c=（a1p+b1q）2=ap2+bq2+2a1b1pq，

c1·c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=ap2+bq2+a1b1（p2+q2）.

由于p≠q，p2+q2>2pq，又a1、b1不為零，

因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比數列.


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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{cn}，其中cn=2n+3n，且數列{cn+1-pcn}為等比數列，則常數p=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：如果數列{an}的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{an}，如果函數y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{an}的“保三角形函數”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=kx（k＞1）是數列{an}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知數列{cn}的首項為2013，Sn是數列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8052，證明{cn}是“三角形”數列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中數列{cn}的“保三角形函數”，問數列{cn}最多有多少項？
（解題中可用以下數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•青浦區(qū)二模）[理科]定義：如果數列{an}的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{an}，如果函數y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{an}的“保三角形函數”，（n∈N*）．
（1）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=kx，（k＞1）是數列{an}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{cn}的首項為2010，Sn是數列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明{cn}是“三角形”數列；
（3）根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x2+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，數列{an}、{bn}滿足a1=1，a2=-6a，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*）．
（1）求證數列{bn}是等比數列；
（2）已知數列{cn}滿足cn=
an3n
（n∈N*），試建立數列{cn}的遞推公式（要求不含an或bn）；
（3）若數列{an}的前n項和為Sn，求Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且數列{Cn+1-PCn}為等比數列，則常數P=
 
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