Question

2．已知f（x）=|x+2|-|2x-1|，M為不等式f（x）＞0的解集．
（1）求M；
（2）求證：當(dāng)x，y∈M時(shí)，|x+y+xy|＜15．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解關(guān)于x的不等式，求出M的范圍即可；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x＜-2}\\{3x+1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x+3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-2時(shí)，由x-3＞0得，x＞3，舍去；
當(dāng)-2≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，由3x+1＞0得，x＞-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{1}{2}$；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，由-x+3＞0得，x＜3，即$\frac{1}{2}$＜x＜3，
綜上，M=（-$\frac{1}{3}$，3）；
（2）證明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，
∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質(zhì)，是一道中檔題．