已知拋物線y2=2px（p＞0）有一內接直角三角形，直角頂點在原點，一直角邊的方程是y=2x，斜邊長為5
13
，求此拋物線的方程．
分析：不妨設已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x，由題意可知OA⊥OB，從而有KOB=-
1
KOA
，則可求直線OB的方程，聯(lián)立方程
y=2x
y2=2px
可求A的坐標，進而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2，代入可求P，進而可求拋物線的方程
解答：解：不妨設已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴KOB=-
1
KOA
=-
1
2
，直線OB的方程為y=-
1
2
x
聯(lián)立方程
y=2x
y2=2px
可得2x2-px=0
∴xA=
p
2
，yA=p
同理可得xB=8p，yB=-4p
∵斜邊AB=5
13

由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2=325
∴325=(
p
2
)2+p2+64p2+16p2
∵p＞0
∴p=2
∴拋物線的方程為y2=4x
點評：本題主要考察了直線與拋物線的相交關系及方程的根與系數(shù)的關系的應用，解題中的關鍵是由直線的垂直關系得到直線OB的斜率．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l．
（1）求拋物線上任意一點Q到定點N（2p，0）的最近距離；
（2）過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：
kMA+kMBkMF
是一個定值，并求出這個值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點．求證：直線AB經(jīng)過點M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標原點．

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