Question

已知函數(shù)R），g（x）=lnx
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）只有一個實數(shù)根，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），=．由此能求出函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令，則．令h′（x）=0，得x=e．當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0； 當(dāng)x＞e時，h′（x）＜0．函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．由此能求出滿足條件的實數(shù)的值．
解答：解：函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
∴=．
①當(dāng)△=1+4a≤0，即時，得x²+x-a≥0，則F′（x）≥0．
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2分）
②當(dāng)△=1+4a＞0，即時，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得．
（ⅰ） 若，則．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，則時，F(xiàn)′（x）＜0；
時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；（6分）
當(dāng)a＞0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為．（8分）
（2）解：令，則．
令h′（x）=0，得x=e．
當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0；
 當(dāng)x＞e時，h′（x）＜0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=e時，函數(shù)h（x）取得最大值，其值為．（10分）
而函數(shù)m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
當(dāng)x=e時，函數(shù)m（x）取得最小值，其值為m（e）=a-e²．（12分）
∴當(dāng)，即時，
方程只有一個根．（14分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．易錯點是分類不清導(dǎo)致出錯．