Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，且其前10項(xiàng)和為65，又正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）比較b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)；
（4）令c_n=lga_n，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，由題設(shè)條件得d=1，從而a_n=n+1，由此可得到．
（2）由題設(shè)條件知，，由此可知b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由題設(shè)猜想當(dāng)n≥2時(shí)，，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明猜想正確，從而得到數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)是．
（4）由題設(shè)條件知==c_n+1²，由此知{c_n}不是等比數(shù)列．
解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d
，則
且a₁=2，得d=1，從而a_n=n+1
故；
（2），

∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}遞減，即猜想當(dāng)n≥2時(shí)，

考察函數(shù)，當(dāng)x＞e時(shí)lnx＞1
故在（e，+∞）上是減函數(shù)，而n+1≥3＞e
所以，即
于是猜想正確，因此，數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)是；
（4）{c_n}不是等比數(shù)列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知

=
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．