Question

20．已知圓C：（x-3）²+（y+1）²=25，過點(diǎn)M（0，4）作直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，
（1）若AB=8，求直線l的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率為-2時(shí)，在直線l上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線長等于PM．
（3）AB的中點(diǎn)為E，在平面上找一定點(diǎn)F，使EF的長為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）考慮斜率存在與否的情況，根據(jù)弦長的中點(diǎn)與圓心的連線、圓心與交點(diǎn)A到構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求k．即可得到直線方程．
（2）當(dāng)斜率為-2時(shí)，直線過M點(diǎn)，求出直線方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的切線長等于PM．求解即可．
（3）根據(jù)直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得答案．

解答 解：由題意：圓C：（x-3）²+（y+1）²=25，圓心為（3，-1），半徑r=5．
過點(diǎn)M（0，4）的直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，AB=8，設(shè)直線方程為：kx-y+4=0（k存在），
圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵弦長AB=2$\sqrt{{r}^{2}-wvdhlpi^{2}}$
∴4=$\sqrt{{5}^{2}-sydmgl9^{2}}$
解得：d²=9
那么：$\frac{|3k+1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3
解得：k=-$\frac{8}{15}$
所以直線方程為：8x+15y-60=0．
當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為x=0，
圓心到直線的距離d=3，由弦長AB=2$\sqrt{{r}^{2}-27xrn54^{2}}$，
解出來AB=8
故AB=8時(shí)，直線l的方程為：x=0或8x+15y-60=0．
（2）當(dāng)斜率為-2時(shí)，直線過M點(diǎn)，可得直線方程為：y=-2x+4．
點(diǎn)P在直線上，設(shè)P（x，-2x+4），由點(diǎn)P的切線長等于PM．
解得：x=$\frac{9}{26}$，y=$\frac{43}{13}$
故P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{26}$，$\frac{43}{13}$）．
（3）根據(jù)直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半有：定點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，主要涉及直線與相交時(shí)，圓心距，半弦長與半徑的關(guān)系，切線即直角三角形相關(guān)性質(zhì)．