Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sin x是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）求a的值及λ的范圍．
（2）討論關(guān)于x的方程

lnx

f(x)

=x²-2ex+m的根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是在R上的奇函數(shù)，求出a的值，利用g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，則導數(shù)小于等于0，由此可求λ的范圍．
（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，比較最值之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）是在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+a）=0，∴a=0．
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴x∈[-1，1]時，g′（x）=λ+cos x≤0恒成立
∴λ≤-1，
（2）由（1）知f（x）=x，∴方程為

lnx

x

=x²-2ex+m，
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f′₁（x）=

1-lnx

x2

當x∈（0，e）時，f′₁（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e]上為增函數(shù)；
當x∈（e，+∞）時，f′₁（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)；
∴當x=e時，[f₁（x）]_max=f₁（e）=

1

e

．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²
∴當m-e²＞

1

e

時，即m＞e²+

1

e

時方程無解．
當m-e²=

1

e

時，即m=e²+

1

e

時方程有一解．
當m-e²＜

1

e

時，即m＜e²+

1

e

時方程有兩解．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．