Question

已知函數(shù)f（x）=x²-5x+10，當x∈（n，n+1]，n∈N₊時，函數(shù)f（x）的值域為D_n，將D_n中整數(shù)的個數(shù)記為a_n，則a₁=

2

；a_n=

2，n=1 1，n=2 2n-4，n≥3

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=x²-5x+10，當x∈（n，n+1]，n∈N₊時，函數(shù)f（x）的值域為D_n，將D_n中整數(shù)的個數(shù)記為a_n，我們根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以判斷出當n=1，n=2時，a_n的值，進而根據(jù)n≥3時，則當x∈（n，n+1]時，函數(shù)在（n，n+1]上為增函數(shù)，可得當x∈（n，n+1]時，f（n²-5n+10）＜f（x）≤f（n²-5n+10）+（2n-4）]，進而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²-5x+10的圖象是開口朝上，以x=

5

2

為對稱軸的拋物線，
當n=1時，即x∈（1，2]，
f（2）≤f（x）＜f（1），即4≤f（x）＜6，此時a₁=2
當n=2時，即x∈（2，3]，
f（

5

2

）≤f（x）≤f（3），即

15

4

≤f（x）≤4，此時a₂=1
當n≥3時，則當x∈（n，n+1]時，函數(shù)在（n，n+1]上為增函數(shù)
則f（n）＜f（x）≤f（n+1），
即f（n²-5n+10）＜f（x）≤f[（n+1）²-5（n+1）+10]，
f（n²-5n+10）＜f（x）≤f[（n²-5n+10）+（2n-4）]，
∵n²-5n+10＜x≤（n²-5n+10）+（2n-4），
其中滿足條件的整數(shù)共2n-4個
此時a_n=2n-4
故a_n=

2，n=1 1，n=2 2n-4，n≥3

故答案為：2，

2，n=1 1，n=2 2n-4，n≥3

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，等差數(shù)列的通項公式，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和判斷，判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間（n，n+1]上的單調(diào)性，是解答本題的關(guān)鍵．