Question

已知橢圓過點（0，1），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓C的左右頂點，直線與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，|DE|•|DF|恒為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知：b=1，因為e=，且a²=b²+c²，可得a的值，進而求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x，y），由題意可得：-2＜x＜2，分別寫出直線AP與直線BP的方程，再求出E、F兩點的縱坐標，即可求出|DE|•|DF|的表達式，然后利用點P在橢圓上即可得到|DE|•|DF|為定值1．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，b=1，
又因為e=，且a²=b²+c²，
解得a=2，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x，y），由題意可得：-2＜x＜2，
所以直線AP的方程為，令，則，
即；
同理：直線BP的方程為，令，則，
即；
所以=
而，即4y²=4-x²，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|為定值1．
點評：本題考查了由橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程，以及直線的方程與直線與直線的交點問題，要求有較高的計算能力，是中檔題．