Question

已知函數(shù)．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）求f（x）的值域；
（4）解不等式．

Answer 1

解：（1）f（x）為奇函數(shù)．
因為f（x）的定義域為R，對?x∈R
∵，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
∵對-∞＜x₁＜x₂＜+∞，，

又=；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
（3）∵，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵；
又∵即為f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
∴不等式的解集為{x|x＞3}
分析：（1）用定義判斷函數(shù)的奇偶性．其步驟為先判斷定義域的對稱性，再判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，另外注意本題書寫的格式---先判斷后證明．
（2）用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是任取兩個自變量，對其函數(shù)值作差，判斷其符號，得出單調(diào)性結(jié)論，注意本題書寫的格式---先判斷后證明．
（3）由（2）的結(jié)論求值域，求此類函數(shù)的值域時，注意到分子與分母是齊次式，故一般采取先分離常數(shù)，求值域．
（4）利用單調(diào)性解不等式，本題為增函數(shù)，故找出函數(shù)值為的自變量，即可求出其解集．此為解不等式的一類常用方法．
點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查全面，一題多考，知識覆蓋面廣，技能性強．