Question

若函數f(x)=-

1

b

eax的圖象在x=0處的切線l與圓C：x²+y²=1相離，則點P（a，b）與圓C的位置關系是

 

．

Answer 1

分析：根據題意利用導數求出切線的斜率以及切點，進而求出切線方程，結合切線l與圓C：x²+y²=1相離，得到

a2+b2

＜1即可得到答案．

解答：解：由題意可得：函數f(x)=-

1

b

eax，所以f′(x)=-

a

b

eax，
所以切線的斜率為f′(0)=-

a

b

．
根據題意可得切點為（0，-

1

b

），
所以切線的方程為：y=-

a

b

x-

1

b

．
所以圓心（0，0）到直線y=-

a

b

x-

1

b

的距離為：d=

1

a2+b2

．
因為切線l與圓C：x²+y²=1相離，
所以

1

a2+b2

＞r=1，即

a2+b2

＜1，
所以點P（a，b）與圓C的位置關系是點P在圓內．
故答案為：點P在圓內．

點評：本題主要考查導數的幾何意義以及直線、點與圓的位置關系，并且加以正確的運算．