Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

=(2asin2x，a)，

OB

=(1，-2

3

sinxcosx)，f(x)=

OA

•

OB

+b(a≠0)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并化成f（x）=Asin（ωx+?）+B的形式，再求f（x）的周期；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="2edbwnp" class="MathJye">x∈[

π

2

，π]，值域?yàn)閇2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把

OA

，

OB

的坐標(biāo)代入f(x)=

OA

•

OB

+b(a≠0)，化簡，即可得到求函數(shù)f（x）的解析式，再借助輔助角公式化一角一函數(shù)即可．
（2）根據(jù)x∈[

π

2

，π]求出ωx+φ的范圍，再借助正弦函數(shù)的圖象，即可求的ω，φ的值．

解答：解：（1）f(x)=

OA

•

OB

+b=2asin2x-2

3

asinxcosx+b=-2asin(2x+

π

6

)+a+b
所以，最小正周期為T=π
（2）因?yàn)?span id="74fsfib" class="MathJye">x∈[ 

π

2

 ， π ]，所以2x+

π

6

∈[ 

7π

6

 ， 

13π

6

 ]，所以sin (2x+

π

6

)∈[ -1 ， 

1

2

 ]．
當(dāng)a＞0時(shí)，

-a+a+b=2 2a+a+b=5

，解得

a=1 b=2

．當(dāng)a＜0時(shí)，

-a+a+b=5 2a+a+b=2

，解得

a=-1 b=5

．

點(diǎn)評：本題借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了三角函數(shù)圖象，性質(zhì)，以及輔助角公式．