2.已知f(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,試用不同方法證明:|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

分析 方法1:利用放縮法進(jìn)行證明即可.
方法2:利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法進(jìn)行證明.

解答 證明:法(1)f(x)=$\sqrt{1+{x}^{2}}$,
則|f(a)-f(b)|=|$\sqrt{1+{a}^{2}}$-$\sqrt{1+^{2}}$|=$\frac{|1+{a}^{2}-(1+^{2})|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$=$\frac{|{a}^{2}-^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$
=$\frac{|(a-b)(a+b)|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$≤$\frac{|a-b|(|a|+|b|)}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}$≤$\frac{|a-b|(|a|+|b|)}{|a|+|b|}$=|a-b|.
法(2)|f(a)-f(b)|≤|a-b|?|f(a)-f(b)|2≤|a-b|2?f2(a)+f2(b)-2f(a)f(b)≤a2+b2-2ab
?1+a2+1+b2-2$\sqrt{1+{a}^{2}}$•$\sqrt{1+^{2}}$≤a2+b2-2ab?1+ab≤$\sqrt{1+{a}^{2}}$•$\sqrt{1+^{2}}$,
當(dāng)1+ab<0時(shí),上式成立.
當(dāng)1+ab≥0時(shí),上式等價(jià)于 1+a2b2+2ab≤(1+a2)(1+b2)=1+a2b2+a2+b2?2ab<a2+b2?(a-b)2≥0,
∵(a-b)2≥0恒成立.
∴|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的證明,利用放縮法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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