Question

AB是過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F的一條弦，且|AF|=1，，求拋物線及直線AB方程．

Answer 1

解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 ，，…（2分）
則，
∴，…（4分）
而若設(shè)過焦點（，0）的直線斜率存在且不為0，則可設(shè)AB的方程為：y=k（x-）
又因為A，B兩點是直線AB與拋物線的交點，則
，?x²-（+p）x+=0
∴，
由．
得 ，…（6分）
即，
∴，
拋物線方程為y²=x．…（8分）
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，
又根據(jù)兩點間的距離公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
由于直線AB過點（，0），設(shè)直線AB為y=tanθ（x-），
聯(lián)立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x ₂
=（×p）²-4×
=4p²（tan²θ+1）×
那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）×
=．
∴，
由，得 ，
∴，∴θ=60⁰或120⁰，
得 ，
所以AB方程為 ．…（12分）
分析：設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義可分別表示出|AF|和|BF|，進(jìn)而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表達(dá)式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，則拋物線方程可得．再由，得 ，從而利用特殊角的三角函數(shù)求出直線AB的斜率，由點斜式方程寫出AB方程．
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用、直線的點斜式方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對于拋物線的焦點弦問題常借助拋物線的定義來解決，屬于基礎(chǔ)題．