Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF₁F₂為直角三角形，則△PF₁F₂的面積等于（　�。�

• A、4

  3

• B、6
• C、12或6
• D、4

  3

  或6

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓方程求得c=2＜b，從而判斷出點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)張角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角頂點(diǎn)在焦點(diǎn)處，再利用橢圓的方程算出點(diǎn)P到F₁F₂軸的距離，利用三角形面積公式加以計(jì)算，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，
∵橢圓

x2

16

+

y2

12

=1中，a=4，b=2

3

，
∴c=

a2-b2

=2
 由此可得∠OMF₁=30°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，只能是∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
 令x=±2，
 得y²=9，
解得|y|=3，即P到F₁F₂軸的距離為3．
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|×3=

1

2

×4×3=6，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P是橢圓上與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)，求△PF₁F₂的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．