Question

已知數(shù)列a_n滿足：2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，n∈N^*
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；（2）若b_n=a_n+2ⁿ+1，求數(shù)列的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等式求出n+1時，2ⁿ⁺¹•a₁•a₂…a_n•a_n+1=A_2n+2ⁿ⁺¹和2ⁿ•a₁•a₂•…•a_n=A_2nⁿ，兩式相除得到數(shù)列a_n的通項公式；
（2）把a_n代入到b_n=a_n+2ⁿ+1中得到b_n的通項公式，代入得到c_n=b_nsin（nπ-）的通項公式，分別表示出c_n的各項，討論當(dāng)n為奇數(shù)和偶數(shù)時表示出c_n的前n項和，化簡求出即可．
解答：解：（1）數(shù)列{a_n}滿足：2ⁿ•a₁•a₂…a_n=A_2nⁿ，2ⁿ⁺¹•a₁•a₂…a_n•a_n+1=A_2n+2ⁿ⁺¹
兩式相除得：2a_n+1===4n+2
所以數(shù)列通項公式：a_n=2n-1
（2）由a_n=2n-1，bn=2ⁿ+2n，
b_nsin（nπ-）=（2ⁿ+2n）sin（nπ-）=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2）
T_n=[2-2²+2³-2⁴++（-1）ⁿ⁺¹•2n]+2[1-2+3-4++（-1）ⁿ⁺¹•n]
當(dāng)n為偶數(shù)時，
T_n=-2
當(dāng)n為奇數(shù)時，
T_n=
T_n=
點評：考查學(xué)生會根據(jù)題意求等差數(shù)列的通項公式，會分情況討論并利用等比、等差數(shù)列求和公式求數(shù)列的和．