Question

已知雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線y²=2px的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線的焦距為（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，點(diǎn)（-2，-1）在拋物線的準(zhǔn)線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=4，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題意，可得雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得a的值，由點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進(jìn)而可得b的值，由雙曲線的性質(zhì)，可得c的值，進(jìn)而可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
即點(diǎn)（-2，-1）在拋物線的準(zhǔn)線上，又由拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-，則p=4，
則拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）；
則雙曲線的左頂點(diǎn)為（-2，0），即a=2；
點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±x，
由雙曲線的性質(zhì)，可得b=1；
則c=，則焦距為2c=2；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目中要求的焦距即2c，容易只計(jì)算到c，就得到結(jié)論．