Question

已知橢圓C的中心在原點，長軸的一個頂點坐標(biāo)為（2，0），離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C的焦點，P為橢圓上一點，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件分別求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（2）設(shè)出p點的坐標(biāo)（x₁，y₁），根據(jù)PF₁⊥PF₂，求出y₁，再根據(jù)S=

1

2

×2c•|y1|求面積．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知a=2， 

c

a

=

3

2

所以，a=2， c=

3

， b=1，橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)P（x₁，y₁），由已知PF₁⊥PF₂，所以

PF1

•

PF2

=0，
即(-

3

-x1，-y1)•(

3

-x1，-y1)=0，x₁²+y₁²=3，
又因為

x 2 1

4

+

y

2 1

=1
解得y1=±

3

3

，所以，△PF₁F₂的面積S=

1

2

×2c•|y1|=1．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法以及根據(jù)一些性質(zhì)求面積，用到數(shù)形結(jié)合思想，這是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想．