Question

過橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數(shù)列，則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是

 

．

Answer 1

分析：使用焦半徑公式求得x₁+x₂的值，可以設(shè)AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達(dá)定理；也可以用“點(diǎn)差法”：記AC中點(diǎn)M（4，y₀），將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差，求得AC的斜率表達(dá)式，表示出AC的中垂線方程，把x=0代入求得AC的中垂線在y軸上的截距，根據(jù)M在圓內(nèi)求得y₀的范圍，進(jìn)而求得

16y0

9

的范圍即弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍．

解答：解：對(duì)|F₂A|+|F₂C|=

18

5

使用焦半徑公式得：5-

4

5

x₁+5-

4

5

x₂=

18

5

?x₁+x₂=8．
此后，可以設(shè)AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達(dá)定理；也可以用“點(diǎn)差”：記AC中點(diǎn)M（4，y₀），將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差得：
?

y1-y2

x1-x2

=-

9

25

•

x1+x2

y1+y2

，
∴k_AC=-

9

25

•

4

y0

，
于是有：AC的中垂線的方程為：
y-y₀=

25y0

36

（x-4），
當(dāng)x=0時(shí)：y=-

16y0

9

，此即AC的中垂線在y軸上的截距，
∵M(jìn)（4，y₀）在橢圓“內(nèi)”，
∴

16

25

+

y 2 0

9

＜1，
得-

9

5

＜y₀＜

9

5

，
∴-

16

5

＜-

16y0

9

＜

16

5

．
故答案為：（-

16

5

，

16

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．