Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是D₁D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為C₁G的中點，應用空間向量方法求解下列問題．
（1）求證：EF⊥B₁C；
（2）求EF與C₁G所成的角的余弦；
（3）求FH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，可求出 ，，再利用向量數(shù)量積的坐標計算可得 =0即可證得EF⊥B₁C．
（2）由（1）知，，從而可計算相應的模與數(shù)量積，利用向量的數(shù)量積的坐標公式，可求EF與C₁G所成角的余弦值；
（3）分別表示出F，H的坐標，從而可求向量FH的模，進而可得FH的長．
解答：解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
則E（），   
（1）∵，
∵
（2）由（1）知…（4分）
∴，…（5分）
…（6分）
…（7分）
∴
故EF與C₁G所成角的余弦值為．…（8分）
（3）∵H為C₁G的中點
∴
∵
∴=
∴…（10分）
點評：本題以正方體為載體，主要考查線線垂直的證明和線線角的求解．解題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用空間向量求解立體幾何問題．