如圖，橢圓長軸端點為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點,

且，.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由

(Ⅰ)     (Ⅱ)   


解析:

（1）設橢圓方程為

由題意又∵即

∴    故橢圓方程為   …………4分

 （2）假設存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則

設，∵，故   ……………6分

于是設直線為 ，由得

     …………8分

∵ 又

得  即

  由韋達定理得

 

解得或（舍）  經(jīng)檢驗符合條件

則直線的方程為:………13分

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且
AF
•
FB
=1，|
OF
|=1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）如圖，橢圓長軸端點為,為橢圓中心，  為橢圓的右焦點,且，.(1)求橢圓的標準方程；(2)記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？

若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山東省濟寧市高二12月質(zhì)檢文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，

且,.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省溫州市高三五校聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分15分）

如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點,且，；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.

 

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