Question

已知半徑為2的圓的圓心C在x軸上，圓心C的橫坐標是非負整數(shù)，且與直線4x+3y+10=0相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與圓相交于P、Q兩點，若

OP

•

OQ

=-2，求k的值；
（Ⅲ）已知直線l：y=kx+1，過點（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與圓C交于M、N兩點，求四邊形PQMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心M的坐標為（m，0），且m是整數(shù)，由圓C與已知直線垂直，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出圓C的方程；
（Ⅱ）

OP

•

OQ

=-2可求得∠POQ，進而求出圓心到直l：kx-y+1=0的距離，再去求k．
（Ⅲ）設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積S，直線l，l₁都經(jīng)過點（0，1），且l⊥l₁，根據(jù)題勾股定理，知d₁²+d²=1，又根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得到|PQ|=2，|MN|=2，由此能求出四邊形PMQN面積的大值．

解答：解：（1）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z），
∵圓C與直線4x+3y+10=0相切，且半徑為2，
∴圓心，到直線4x+3y+10=0的距離d=r，即

|4m+10|

5

=2，即|4m+10|=10，
∵m圓心C的橫坐標是非負整數(shù)，∴m=0，
則所求圓的方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）因為，

OP

•

OQ

=2×2cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，
所以，COS∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圓心到直l：kx-y+1=0的距離d=1，d=

1

1+k2

，所以 k=0．
（Ⅲ）設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，
四邊形PMQN的面積S，
∵直線l，l₁都經(jīng)過點（0，1），且l⊥l₁，

根據(jù)題勾股定理，知d₁²+d²=1，
又根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得到
|PQ|=2

4-d 2

，|MN|=2

4-d12

，
而S=

1

2

|PQ|•|MN|，
即S=

1

2

×2×

4-d 2

×2×

4-d12

=2

16-4(d2+d12)+d2d12

=2

12+d2d12

≤2

12+( d2+d12 2 )2

=2

12+ 1 4

=7．
當且僅當d₁=d時，等號成立，
所以S的最大值為7．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關(guān)系，一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是：當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個數(shù)決定了直線與圓交點的個數(shù)．與圓有關(guān)的比例線段，是中檔題．解題時要認真審題，注意垂徑定理和勾股定理的靈活運用．