Question

已知A（-6，0），B（6，0），點(diǎn)P在直線l：x-y+12=0上，若橢圓以A、B為焦點(diǎn)，以|PA|+|PB|的最小值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，求這個(gè)橢圓的方程．

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：x-y+12=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，連接BC交直線l于P₀，
根據(jù)平面幾何知識(shí)可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值．
設(shè)C（m，n），則有，解之得
∴C的坐標(biāo)為（-12，6），得|PA|+|PB|取得最小值為|CB|==6
∵橢圓以A、B為焦點(diǎn)，以|PA|+|PB|的最小值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
∴設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），滿(mǎn)足，
解之得a=3，b=3，
∴滿(mǎn)足條件的橢圓方程是．
分析：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：x-y+12=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，連接BC交直線l于P₀，根據(jù)平面幾何知識(shí)可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值．然后根據(jù)直線AC的斜率等于-1和線段AC中點(diǎn)在直線l上，聯(lián)列方程組可解出C的坐標(biāo)為（-12，6），從而得到|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=．最后設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），根據(jù)橢圓的基本概念列出關(guān)于a、b的方程組，得到a=，b=，最終得出這個(gè)橢圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題以直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和取最小值為載體，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)、橢圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．