Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f ^-1（x）；
（Ⅱ）若a₁=1，（n∈N₊），求a_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小的正整數(shù)k，使對于任意n∈N₊有b_n＜成立． 若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，然后根據(jù)反函數(shù)的求解步驟進行解題即可；
（2）根據(jù)條件推出{}是以=1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，從而求出通項公式a_n；
（3）分別表示出b_n+1，b_n，然后將兩者作差，判定符號，從而確定數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可知，要使則，所以又k∈N^*即k≥8，從而求出k的最小值．
解答：解：（1）∵∴f（x）＞0∴
（2）∴∴
∴{}是以=1為首項，以4為公差的等差數(shù)列、
∴∴、
（3）∴
∴
∴b_n+1＜b_n∴{b_n}是一單調(diào)遞減數(shù)列．∴
要使則∴又k∈N^*∴k≥8∴k_min=8
即存在最小的正整數(shù)k=8，使得．
點評：本題主要考查了反函數(shù)，數(shù)列的通項以及恒成立問題，是一道數(shù)列與函數(shù)的綜合題，屬于中檔題．