在銳角△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，
(1+cos2A)(1+cos2C)
=
3
-1
2

（Ⅰ）證明：cosAcosC=
1
2
[cos(A+C)+cos(A-C)]；
（Ⅱ）試比較a+
2
b與
3
c的大小，并說明理由．
分析：（Ⅰ）利用兩角和差的余弦公式，化簡cos（A+C）+cos（A-C）為2cosAcosC，兩邊同時(shí)除以2，即得要證的式子．
（Ⅱ）易求B=60°，A+C=120°，化簡
2cos2A•2cos2C
為-
1
2
+cos(A-C)=
3
- 1
2
，求出
 cos(A-C)=
3
2
，故有A-C=±30°，利用正弦定理計(jì)算
a+
2
b
3
c
，再利用不等式的放縮可得其值大于1，
命題得證．
解答：（Ⅰ）證明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，
兩邊同時(shí)除以2可得cosAcosC=
1
2
[cos(A+C)+cos(A-C)]．
（Ⅱ）解：在銳角△ABC中，因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，所以B=60°，A+C=120°．
又
2cos2A•2cos2C
=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=-
1
2
+cos(A-C)，
(1+cos2A)(1+cos2C)
=
2cos2A•2cos2C
=
3
- 1
2
，
∴-
1
2
+cos(A-C)=
3
- 1
2
，∴cos(A-C)=
3
2
．
∵-900＜A-C＜900，A+C=120°，故有 A-C=±30°，sin750=
6
+
2
4
，
當(dāng)A＜C時(shí)，A=45°，C=75°，此時(shí)
a+
2
b
3
c
=
sin450+
2
sin600
3
sin750
＞
6
+
2
2
2•
6
+
2
4
=1，所以a+
2
b＞
3
c．
當(dāng)A＞C時(shí)，A=75°，C=45°，
a+
2
b
3
c
=
sin750+
2
sin600
3
sin450
＞1，所以a+
2
b＞
3
c，
綜合得 a+
2
b＞
3
c．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，用綜合法證明不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanC=
aba2+b2-c2

（Ⅰ）求角C大小；
（Ⅱ）當(dāng)c=1時(shí)，求a2+b2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•張掖模擬）在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．且
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC
．
（1）求角A的大小及角B的取值范圍；
（2）若a=
3
，求b2+c2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OP
=(2sin
x
2
，-1)，
OQ
=(cosx+f(x)，sin(
π
2
-
x
2
))，且
OP
∥
OQ
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并指出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且f(A)=-
2
，bc=8，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知b2=ac且sinAsinC=
34
．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=sin（x-B）+sinx（0≤x＜π）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知cos2C=-
3
4
．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）當(dāng)c=2a，且b=3
7
時(shí)，求a及△ABC的面積．

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