Question

9．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，圓C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ為參數(shù)）．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若橢圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)），過圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將圓C的參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心C到直線l的距離，由此得到直線l與圓C相離．
（2）將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求出直線l'的參數(shù)方程，把直線l'的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程，得7t²-16$\sqrt{2}$t+8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式能求出|AB|．

解答 解：（1）將直線l的極坐標(biāo)方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x+y-1=0．
將圓C的參數(shù)方程化為普通方程：x²+（y+2）²=4，圓心為C（0，-2），半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離為d=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$＞r=2，
∴直線l與圓C相離．（5分）
（2）將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
∵直線l：x+y-1=0的斜率為k₁=-1，
∴直線l'的斜率為k₂=1，即傾斜角為$\frac{π}{4}$，
則直線l'的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=-2+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
把直線l'的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
整理得7t²-16$\sqrt{2}$t+8=0．（*）
由于△=（-16$\sqrt{2}$）²-4×7×8＞0，
故可設(shè)t₁，t₂是方程（*）的兩個(gè)不等實(shí)根，則有t₁t₂=$\frac{8}{7}$，${t_1}+{t_2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{7}$，
|AB|=${\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}^{\;}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查弦長的求法，涉及到圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理和參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．