Question

實(shí)數(shù)a∈[0，3]，b∈[0，2]，則關(guān)于x的方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的概率是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件，得到a²≥b²．本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率．
解答：解：方程有實(shí)根時(shí)，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．記方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的事件為A．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的點(diǎn)M對(duì)構(gòu)成坐標(biāo)平面上一個(gè)區(qū)域（如圖中的矩形OABC），即所有的基本事件構(gòu)成坐標(biāo)平面上的區(qū)域OABC，其面積為2×3=6．
由于a在[0，3]上隨機(jī)抽取，b在[0，2]上隨機(jī)抽取，
所以，組成區(qū)域OABC的所有基本事件是等可能性的．
又由于滿足條件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a²≥b²，即a≥b的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為 ×（1+3）×2=4，
所以，事件A組成平面區(qū)域的面積為4，所以P（A）==．
所以，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的概率為 ．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到．