某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后,留下大量中心角為60°,半徑為a的扇形邊角料,現(xiàn)要廢物利用,從中剪裁下矩形毛坯,要求矩形面積盡可能大,請問如何裁剪?

解:方案一,如圖,矩形有兩個頂點在半徑OA上,

    設(shè)∠AOP=θ,則PM=a·sinθ.

∵扇形中心角為60°,∴∠PQO=120°.

    由正弦定理,得=,

∴PQ=·a·sin(60°-θ).

    故矩形MPQR的面積為

S1=PM·PQ=a2·sinθ·sin(60°-θ)

=·a2[cos(2θ-60°)-cos60°]≤·a2·(1-)=a2.

    當cos(2θ-60°)=1.

    即θ=30°時,S1取得最大值a2.方案二:如圖,矩形有兩個頂點分別在扇形的兩條半徑OA、OB上.

    設(shè)∠AOM=θ,∠MRA=×60°=30°,∠MRO=150°,

    由正弦定理,得=.

∴RM=2a·sinθ.

    又=.

∴OR=RQ=2a·sin(30°-θ).

∴矩形MPQR的面積為

S2=MR·RQ=4a2·sinθ·sin(30°-θ)

=2a2[cos(2θ-30°)-cos30°]

≤2a2·(1-)=(2-)a2,

    即在此情況下,∠AOM=15°時,可求出M點,然后作出MPQR面積為最大.

    由于S1-S2=a2-(2-)a2=(7-12)>0,

    所以第一種方案能使截出的矩形面積最大,即∠AOP=θ=30°,使P取在AB弧中點,分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR,即為最大矩形.

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