Question

已知函數(shù)f（x）=x²﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）試說明是否存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=x²﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當a=1時，，
所以f（x）在為減函數(shù)在為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）的最小值為=．
（2），
若a≤0時，則，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）．
若a＞0，則，故當，f'（x）=≤0，
當時，f（x）=≥0，
所以a＞0時f（x）的減區(qū)間為，f（x）的增區(qū)間為
（3）a≥1時，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值為，
令=在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，則＞0，
因此存在實數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在實數(shù)a（a≥1）使y=f（x）的圖象與無公共點