Question

如圖，已知E、F為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)|EF|=6，|FG|=10，且2

EH

=

EG

，

HP

•

GE

=0（G為動(dòng)點(diǎn)，P是HP和GF的交點(diǎn)）．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，且線段AB的中垂線與直線EF相交于一點(diǎn)C，證明|OC|＜

9

5

（O為EF的中點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由題設(shè)2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．由A、B在軌跡上，知

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．由此入手能夠證明|OC|＜

9

5

．

解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
由題設(shè)2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴點(diǎn)P是以E、F為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓．
故點(diǎn)P的軌跡方程是

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．
又A、B在軌跡上，∴

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．
即y12=16-

16

25

x12，y22=16-

16

25

x22．
代入整理，得2(x2-x1)•x0=

9

25

(x22-x12)．
∵x₁≠x₂，∴x0=

9(x1+x2)

50

．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴-

9

5

＜x0＜

9

5

，即|OC|＜

9

5

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程，證明|OC|＜

9

5

．解題時(shí)要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟�立平面直角坐�?biāo)系，靈活運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．