本小題滿分10分)
六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同的站法?
(1)甲不站兩端;  
(2)甲、乙必須相鄰;  
(3)甲、乙不相鄰;
(4)甲、乙按自左至右順序排隊(duì)(可以不相鄰);
(5)甲、乙站在兩端.
480,240,480,360
解:(1)方法一:要使甲不站在兩端,可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè),有種站法,然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有站=480(種).
方法二:由于不站兩端,這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選 2個(gè)人站,有種站法,然后中間4人有種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有站法=480(種).
方法三:若對(duì)甲沒有限制條件共有種法,甲在兩端共有2種站法,從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù),即得所求的站法數(shù),共有2=480(種).
(2)先把甲、乙作為一個(gè)“整體”,看作一個(gè)人,有種站法,再把甲、乙進(jìn)行全排列,有種站法,根椐分步計(jì)數(shù)原理,共有=240(種)站法.
(3)因?yàn)榧、乙不相鄰,中間有隔檔,可用“插空法”,第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì),有A種;第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔(含兩端)中,有種,故共有站法為(種).
也可是用“間接法”,6個(gè)人全排列有種站法,由(2)知甲、乙相鄰有種站法,所以不相鄰的站法有(種).
(4)先將甲、乙以外的4人從6個(gè)位置中挑選4個(gè)位置進(jìn)行排列共有種,剩下的兩個(gè)位置,左邊的就是甲,右邊的就是乙,全部排完,故共有種.
(5)方法一:首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端,有種,再讓其他4人在中間位置作全排列,有種,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有=48(種).
方法二:首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置,甲、乙去站有種站法,然后考慮中間4個(gè)位置,由剩下的4人去站,有種站法,由分步計(jì)數(shù)原理共有=48種站法.
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