Question

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展開式的二項式系數(shù)和為512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余數(shù)．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，f（x）=（2x-3）ⁿ展開式的二項式系數(shù)和為512，
則2ⁿ=512，解可得n=9；
（2x-3）⁹=[2（x-1）-1]⁹，則a₂=C₉⁷2²（-1）⁷=-144，
（2）在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a₀=（2×1-3）⁹=-1，
令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2×2-3）⁹=1，
則a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n-a₀=1-（-1）=2；
（3）f（20）-20=37⁹-20=（36+1）⁹-20=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36+C₉⁹-20
=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19；
因為（C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36）能被6整除，而-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余數(shù)為5；
則f（20）-20除以6的余數(shù)為5．