Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：
（1）要證AC⊥BC₁，可通過證出AC⊥平面BCC₁實現(xiàn)．由已知，易證AC⊥BC，AC⊥C₁C，所以AC⊥平面BCC₁成立．
 （2）令BC₁交CB₁于點O，連接OD，可知O、D是△AC1B的中位線，得出OD，利用線面平行的判定定理證出AC₁∥平面CDB₁；
（3）過C點作CE⊥AB于E，連接C₁E，可以證出∠CEC₁（或其補角）即是C₁-AB-C的平面角，在△CEC₁中求解即可．
 解法二：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，以C為原點建立空間直角坐標系；利用向量的工具求解．
（1）通過=0，證明AC⊥BC₁；
 （2）求出平面CDB₁的一個法向量，，通過⊥來證明AC₁∥平面CDB₁；
 （3）分別求出平面ABC，平面CDB₁的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角C₁-AB-C的余弦值．
解答：解法一：（1）證明∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥C₁C，
又BC∩C₁C=C，∴AC⊥平面BCC₁，
又BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．
（2）證明：如圖，令BC₁交CB₁于點O，連接OD，
∵O、D分別是BC₁和AB的中點，
∴OD，又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁
（3）解：過C點作CE⊥AB于E，連接C₁E，
∵CC₁⊥AB，CE⊥AB，∴∠CEC₁（或其補角）即是C₁-AB-C的平面角，
在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，由AB•CE=AC•BC得CE=，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CE，∴△CEC₁是Rt△，
又∵CC₁=AA₁=4，CE=，∴C₁E=，
∴cos∠CEC₁=，即二面角C₁-AB-C的余弦值為．
解法二：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，以C為原點建立如圖所示空間直角坐標系；
（1）由題意有A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），
∴=（0，-4，4），∴=（-3，0，0）•（0，-4，4）=0，
∴⊥，即AC⊥BC₁．
（2）∵D（（0，4，4），
∴=（0，4，4），
令平面CDB₁的一個法向量為
∴，
∴=-3×4+0+1×4=0，∴⊥，
又AC?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）令平面ABC₁的一個法向量為，
∵=（-3，0，4），
∴由，
∴，1，1），
易知平面ABC的一個法向量為=（0，0，4），
∵，
∴，
所以二面角C₁-AB-C的余弦值即為．
點評：本題考查空間直線和直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．