Question

（填空題壓軸題：考查函數(shù)的性質(zhì)，字母運(yùn)算等） 
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

Answer 1

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，
∴f(x)=

|x-a|-2a   x＞0 -|x+a|+2a ，x＜0

又f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，
當(dāng)x＞0時(shí)，由定義有|x+2011-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2011-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點(diǎn)a小于到點(diǎn)a-2011的距離，由于x＞0故可知a+a-2011＜0得a＜

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當(dāng)x＜0時(shí)，分兩類研究，若x+2011＜0，則有-|x+2011+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其幾何意義表示到點(diǎn)-a的距離小于到點(diǎn)-a-2011的距離，由于x＜0，故可得-a-a-2011＞0，得a＜

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；若x+2011＞0，則有|x+2011-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011-a|＞4a，其幾何意義表示到到點(diǎn)-a的距離與到點(diǎn)a-2011的距離的和大于4a，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然成立，當(dāng)a＞0時(shí)，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|，故有|2a-2011|＞4a，必有2011-2a＞4a，解得a＜

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  綜上，對(duì)x∈R都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a＜

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故答案為：a＜

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