Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線方程是y=-

3

2

x，焦距為2

13

，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：由雙曲線的漸近線方程為y=-

3

2

x，可設(shè)雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=λ(λ≠0)，當(dāng)λ＞0時(shí)，

x2

4λ

-

y2

9λ

=1，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時(shí)，方程為

y2

-9λ

-

x2

-4λ

=1，利用已知焦距為2

13

，可求λ，進(jìn)而可求雙曲線的方程．

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=-

3

2

x，由題意可設(shè)雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=λ(λ≠0)
當(dāng)λ＞0時(shí)，

x2

4λ

-

y2

9λ

=1，焦點(diǎn)在x軸上，
∴

4λ+9λ

=

13

，
∴λ=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1
當(dāng)λ＜0時(shí)，方程為

y2

-9λ

-

x2

-4λ

=1，
∴

-4λ-9λ

=

13

，
∴λ=-1
∴方程為

y2

9

-

x2

4

=1
綜上所述，雙曲線方程為

x2

4

-

y2

9

=1或

y2

9

-

x2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的漸近線方程設(shè)雙曲線方程，屬于基礎(chǔ)題．