Question

（本題滿分12分）

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝，a_n＝2－，（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n＝，（n∈N^*）．

    （1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；

    （2）求數(shù)列{a_n}中的最大項和最小項，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）數(shù)列{b_n}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列．證明略

（2）當(dāng)n＝3時，a_n取得最小值－1；當(dāng)n＝4時，a_n取最大值3．

【解析】證明：（1）因為a_n＝2－，（n≥2，n∈N^*），

b_n＝．

所以當(dāng)n≥2時，b_n－b_n－1＝－

＝－＝－＝1．

又b₁＝＝－．

∴數(shù)列{b_n}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列．

（2）由（1）知，b_n＝n－，則

a_n＝1＋＝1＋．

設(shè)函數(shù)f（x）＝1＋，f（x）在區(qū)間（－∞，）和（，＋∞）內(nèi)為減函數(shù)．

又f（3）＝－1，f（4）＝3．

所以，當(dāng)n＝3時，a_n取得最小值－1；當(dāng)n＝4時，a_n取最大值3．